13 סוגים של פונקציות מתמטיות (ומאפייניהם)

none 3, 2024

מתמטיקה היא אחת הדיסציפלינות המדעיות הטכניות והאובייקטיביות ביותר הקיימות. זהו המסגרת העיקרית שממנה יכולים ענפי מדע אחרים לערוך מדידות ולפעול עם משתני היסודות שהם לומדים, באופן שמלבד משמעת כשלעצמה הוא מניח ליד ההיגיון אחד מבסיסי ידע מדעי

אבל בתוך המתמטיקה נלמדים תהליכים ומאפיינים מגוונים מאוד, בינם לבין עצמם היחס בין שני גדלים או תחומים מקושרים, שבהם מתקבלת תוצאה קונקרטית הודות לערך של אלמנט קונקרטי או בתפקודו. זה על קיומו של פונקציות מתמטיות, אשר לא תמיד יש את אותה דרך להשפיע או קשורים זה לזה.

זו הסיבה אנחנו יכולים לדבר על סוגים שונים של פונקציות מתמטיות , אשר נדון לאורך מאמר זה.

מאמר קשור: "14 חידות מתמטיות (ופתרונותיהן)"

פונקציות במתמטיקה: מה הן?

לפני שנמשיך ליצור את הסוגים העיקריים של פונקציות מתמטיות הקיימות, כדאי לעשות הקדמה קצרה כדי להבהיר מה אנחנו מדברים כאשר אנחנו מדברים על פונקציות.

פונקציות מתמטיות מוגדרות כ הביטוי המתמטי של היחסים בין שני משתנים או גדלים . המשתנים האמורים מסומלים מתוך האותיות האחרונות של האלפבית, X ו- Y, בהתאמה מקבלים את שם התחום ואת קודומין.

מערכת יחסים זו מתבטאת באופן שבו מתבקשת קיומו של שוויון בין שני המרכיבים הנבדקים, ובדרך כלל משתמע מכך שלכל אחד מערכי X קיימת תוצאה אחת של Y ולהיפך (אם כי יש סיווגים של פונקציות שאינן מקיימות עם דרישה זו).

כמו כן, פונקציה זו מאפשר יצירת ייצוג בצורה של גרפיקה אשר בתורו מאפשר חיזוי ההתנהגות של אחד המשתנים מן השני, כמו גם מגבלות אפשריות של מערכת יחסים זו או שינויים בהתנהגות של משתנה זה.

כפי שקורה כשאנחנו אומרים שמשהו תלוי או מבוסס על משהו אחר (לתת דוגמה, אם ניקח בחשבון שהציון שלנו במבחן המתמטיקה הוא פונקציה של מספר השעות שאנו לומדים), כאשר אנו מדברים על פונקציה מתמטית אנו מציינים כי השגת ערך מסוים תלויה בערך של אחר הקשור אליו.

למעשה, הדוגמה הקודמת היא ניתנת לביטוי ישירות בצורה של פונקציה מתמטית (אם כי בעולם האמיתי היחסים הרבה יותר מורכבים שכן למעשה זה תלוי במספר גורמים ולא רק על מספר שעות למד).

סוגים עיקריים של פונקציות מתמטיות

כאן אנו מראים כמה סוגים עיקריים של פונקציות מתמטיות, מסווגים לקבוצות שונות על פי התנהגותם וסוג היחסים שנקבעו בין המשתנים X ו- Y .

1. פונקציות אלגבריות

הפונקציות האלגבריות מובנות כסוג של סוגים של פונקציות מתמטיות המאופיינות על ידי יצירת קשר אשר מרכיביו הם מונומים או פולינומים, ו אשר מערכת היחסים שלהם מתקבלת באמצעות ביצוע פעולות מתמטיות פשוטות יחסית : חיסור נוסף, כפל, חלוקה, פוטנציה או הקמת (שימוש בשורשים). בתוך קטגוריה זו אנו יכולים למצוא סוגים רבים.

1.1. פונקציות מפורשות

פונקציות מפורשות נתפסות כאלו סוגים של פונקציות מתמטיות אשר הקשר ניתן להשיג ישירות, פשוט על ידי החלפת התחום x עבור הערך המקביל. במילים אחרות, היא פונקציה שבה ישירות אנו מוצאים שוויון בין הערך של יחס מתמטי שבו משפיע תחום x .

1.2. פונקציות משתמעות

שלא כמו בקודמים, בתפקודים המרומזים אין קשר ישיר בין תחום לקודומין באופן ישיר, ונדרש לבצע טרנספורמציות שונות ופעולות מתמטיות כדי למצוא את האופן שבו x ו- y קשורים.

1.3. פונקציות פולינומיות

פונקציות פולינומיות, המובנות לעתים כמקושרות עם פונקציות אלגבריות ואחרות כתת-קבוצה של אלה, משלבות את קבוצת סוגי הפונקציות המתמטיות שבהן כדי להשיג את הקשר בין תחום codomain, יש צורך לבצע מספר פעולות עם פולינומים בדרגות שונות.

פונקציות לינאריות או כיתה א 'הן כנראה הסוג הפשוט ביותר של פונקציה לפתרון והן מהראשון שנלמד. אצלם יש פשוט מערכת יחסים פשוטה שבה הערך של x יפיק ערך של y, והייצוג הגרפי שלה הוא קו שצריך לחתוך את ציר הקואורדינטות בשלב כלשהו. השינוי היחיד יהיה המדרון של הקו האמור ואת הנקודה שבה הוא חותך את הציר, תמיד לשמור על אותו סוג של מערכת יחסים.

בתוכם אנו יכולים למצוא את פונקציות הזהות, שבו יש זיהוי ישיר בין תחום וקודומין כך ששני הערכים יהיו תמיד זהים (y = x), הפונקציות הליניאריות (שבהן אנו בודקים רק וריאציה של המדרון, y = mx) והפונקציות הקשורות (שבו אנו יכולים למצוא שינויים בנקודת החיתוך של abscissa ו מדרון, y = mx + a).

הפונקציות הריבועיות או התואר השני הן אלו שמכניסות פולינום שבו משתנה יחיד הוא בעל התנהגות לא ליניארית לאורך זמן (במקום ביחס לקודומין). מגבול מסוים הפונקציה נוטה לאינסוף באחד הצירים. הייצוג הגרפי הוקם כפרבולה, ומתבטא במתמטיקה כמו y = ax2 + bx + c.

פונקציות קבועות הן אלה שבהן מספר ריאלי יחיד הוא הקובע של הקשר בין תחום וקודומין . כלומר, אין וריאציה אמיתית בהתאם לערך של שניהם: קודומין תמיד יהיה קבוע, אין משתנה תחום שיכול להכניס שינויים. פשוט, y = k.

אולי אתה מעוניין: "דיסקלקוליה: הקושי כשמדובר במתמטיקה למידה"

1.4. פונקציות רציונליות

פונקציות רציונליות הן מערך פונקציות שבו הערך של הפונקציה נקבע מתוך מנה בין פולינומים שאינם אפס. בפונקציות אלה התחום יכלול את כל המספרים, למעט אלה המבטלים את המכנה של החלוקה, אשר לא יאפשר לקבל ערך y.

בסוג זה של פונקציות מופיעות גבולות ידועים כמו אסימפטוטים , אשר יהיה בדיוק אותם ערכים שבהם לא יהיה שום תחום או ערך קודומין (כלומר, כאשר y ו- x שווים 0). במגבלות אלה, ייצוגים גרפיים נוטים אינסופי, מבלי לגעת גבולות אמר. דוגמה לסוג זה של פונקציה: y = √ גרזן

1.5. פונקציות לא רציונליות או רדיקליות

הם מקבלים את שם הפונקציות הלא רציונליות את קבוצת הפונקציות שבהן פונקציה רציונלית מוכנסת לשורש רדיקלי או לא (שאינו חייב להיות מרובע, שכן ייתכן שהוא מעוקב או עם מעריך אחר).

כדי להיות מסוגל לפתור את זה יש לזכור כי קיומו של שורש זה מטיל מגבלות מסוימות , כגון העובדה כי ערכי x תמיד צריך לגרום לתוצאה של השורש להיות חיובי גדול או שווה לאפס.

1.6. פונקציות שהוגדרו על ידי חתיכות

זה סוג של פונקציות הם אלה שבהם הערך של y משנה את ההתנהגות של הפונקציה, יש שני מרווחים עם התנהגות שונה מאוד המבוססת על הערך של התחום. לא יהיה ערך שלא יהיה חלק מזה, אשר יהיה הערך שממנו ההתנהגות של הפונקציה תהיה שונה.

2. פונקציות Transcendent

הפונקציות הטרנסצנדנטליות הן אותן ייצוגים מתמטיים של יחסים בין גדלים שאינם ניתנים להשגה באמצעות פעולות אלגבריות, ואשר יש צורך לבצע תהליך חישוב מורכב על מנת להשיג את מערכת היחסים שלהם . זה כולל בעיקר פונקציות הדורשות שימוש בנגזרים, אינטגרלים, לוגריתמים או שיש להם סוג של צמיחה כי הוא גדל או יורד ברציפות.

2.1. פונקציות אקספוננציאליות

כפי שצוין בשמה, פונקציות מעריכות הן מערכת של פונקציות המקימות מערכת יחסים בין תחום וקודומין, שבה נוצרת מערכת צמיחה ברמת המעריכי, כלומר, יש צמיחה מואצת יותר ויותר. הערך של x הוא המעריך, כלומר, הדרך שבה הערך של הפונקציה משתנה וגדל עם הזמן . הדוגמה הפשוטה ביותר: y = ax

2.2. פונקציות יומן

הלוגריתם של כל מספר הוא המעריך אשר יהיה צורך להעלות את הבסיס המשמש כדי לקבל את המספר הספציפי. לפיכך, הפונקציות הלוגריתמיות הן אלה שבהן אנו משתמשים כ"דומיין "למספר המתקבל עם בסיס ספציפי. זהו המקרה ההפוך וההפוך של הפונקציה המעריכית .

הערך של x חייב להיות תמיד גדול מאפס ושונה מ 1 (שכן כל לוגריתם עם בסיס 1 שווה לאפס). הצמיחה של הפונקציה יורדת ככל שהערך של x עולה. במקרה זה y = loga x

2.3. פונקציות טריגונומטריות

סוג של פונקציה המכוננת את הקשר המספרי בין היסודות השונים המרכיבים משולש או דמות גיאומטרית, ובמיוחד את היחסים הקיימים בין זוויותיה של דמות. בתוך פונקציות אלה אנו מוצאים את החישוב של סינוס, cosine, משיק, secant, cotangent ו cosecant לפני ערך נקבע x.

סיווג נוסף

קבוצה של סוגי פונקציות מתמטיות מוסבר לעיל לקחת בחשבון כי עבור כל ערך של התחום המתאים ערך יחיד של codomain (כלומר כל ערך של x יגרום ערך מסוים של y). עם זאת, אם כי עובדה זו נחשבת בדרך כלל בסיסי בסיסי, זה בטוח כי ניתן למצוא כמה סוגים של פונקציות מתמטיות שבהן עשוי להיות קצת סטייה ככל התכתובת בין x ו- y מודאגים . באופן ספציפי אנו יכולים למצוא את סוגי הפונקציות הבאות.

1. פונקציות זריקה

שם הפונקציות הזרקתיות הוא סוג של יחסים מתמטיים בין תחום לקודומין, שבהם כל אחד מהערכים של קודומין מקושר רק לערך של התחום. כלומר, x יהיה מסוגל רק להיות בעל ערך אחד עבור ערך מסוים, או שאין לו ערך (כלומר, ערך ספציפי של x לא יכול להיות קשור ל- y).

2. פונקציות Surjective

פונקציות הסרג'סטיב הן כולן כל אחד מהאלמנטים או הערכים של הקודומין (y) קשורים לפחות לאחד מהתחומים (x) , למרות שהם יכולים להיות יותר. זה לא חייב להיות בהכרח מזריק (כדי להיות מסוגל לקשר כמה ערכים של x לאותו Y).

3. פונקציות Bijective

סוג של פונקציה שבה הן תכונות הזרקת ו surjective ניתנים בשם כזה. אני מתכוון, יש ערך אחד של x עבור כל אחת , וכל ערכי הדומיין מתאימים לאחד מהקודומין.

4. לא הזרקת ו non-surjective פונקציות

סוגים אלה של פונקציות מצביעים על כך שיש ערכים מרובים של התחום עבור קודומין ספציפי (כלומר, ערכים שונים של x יעניקו לנו אותו Y) באותו הזמן ערכים אחרים של y אינם מקושרים לערך כלשהו של x.